সম্ভাব্যতার জগত-২/পূরক সম্ভাব্যতা

সম্ভাব্যতার জগত-২/পূরক সম্ভাব্যতা

কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা যদি A হয় তাহলে তাকে বলা হয় P(A) এবং একে পড়া হয় Probability of A.

এখন কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা A হলে তা না ঘটার সম্ভাবনা নিশ্চয় 1-P(A)।

সম্ভাবনার এই ধারণাকেই বলা হয় পূরক সম্ভাবনা বা  Complementary Probability.একে লেখা হয় A’।

তাহলে আমরা বলতে পারি P(A’)=1-P(A)

ধরো,তুমি 4টি স্কুলে ভর্তি পরিক্ষা দিয়েছো,প্রতেকটি স্কুলে চান্স পাওয়ার সম্ভাবনা অনির্ভরশীল্ভাবে 60%,তাহলে সবকটি স্কুলে তোমার চান্স পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

এটা তম হয়তো সহজেই বের করতে পারবে,একটি স্কুলে চান্স পাওয়ার সম্ভাবনা (6/10),সুতরাং 4 টি স্কুলেই চান্স পাওয়ার সম্ভাবনা (6/10)^4 বা প্রায় 13%।

কিন্তু এখন প্রশ্ন হলো,৪ টিতে না,অন্তত একটিতে চান্স পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

এটার জন্য আমাদের পূরক সম্ভাব্যতার সাহায্য লাগবে।দেখো একটি স্কুলে চান্স পাওয়ার সম্ভাবনা 60% হলে,চান্স না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?অবশ্যই 40%।

একটিতে চান্স না পাওয়ার সম্ভাবনা 40% হলে,4টির কোনটিতেই চান্স না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?(4/10)^4 বা প্রায় 25%,তার মানে বুঝতে পারছো?এর মানে হলো যেকোন একটি স্কুলে চান্স পাওয়ার সম্ভাবনা 75%...!!!(এজন্যই কবি বলেছেন,একবার না পারিলে দেখ শতবার!)

এবার আমরা পূরক সম্ভাব্যতার আরেকটি উদাহরন দেখব।

এটা মোটামুটি সহজ,প্রশ্নটি হলো,5টি ছক্কা চাললে একই সংখ্যা অন্তত দুইবার ওঠার সম্ভাবনা কত?

দেখ,5টি চালে 5টি ভিন্ন সংখ্যা হতে পারে  6P5 বা 720 টি,আর মোট ফলাফল আসতে পারে 6^5=7776 টি।

সুতরাং 5টি সংখ্যা ভিন্ন হওয়ার সম্ভাবনা (720/7776) বা (5/54).

সুতরাং,একই সংখ্যা অন্তত দুইবার ওঠার সম্ভাবনা (1-5/54)=49/54.

এবার একই ধাচের আরেকতি প্রশ্ন,7টি ছক্কা চাললে একই সংখ্যা অন্তত দুইবার ওঠার সম্ভাবনা কত?  

কত মনে হচ্ছে উত্তর?

1-(7P5/6^7)?

মোটেও না।

পিজিওন হোল প্রিন্সিওয়াল তা সমর্থন করে না,কেননা প্রথম 6টি চালে সম্ভাব্যতার সূত্র অনুসারে 6টি ভিন্ন ভিন্ন অর্থাৎ ছক্কার গুটির সবগুলো সংখ্যাই একবার করেউঠবে,তাহলে সপ্তম চালে নিশ্চয় এর আগের 6টি চালের যেকোনটি  উঠবে?

তাহলে সম্ভাবনা কত?

100% অর্থাৎ শতভাগ...!!!

এবার বুঝতে পারছো গণিতের একটি শাখা আরেকটি শাখার সাথে কত ঘনষ্ঠভাবে জড়িত?

 আমরা এবার ১টি সমস্যা নিয়ে আলোচনা করব,সমস্যাটা খুব সাদামাটা।কিন্তু এই সমস্যা সমাধানের মাধ্যামে গণিতের বেশ কিছু ব্যবহার শিখব,পূরক সম্ভাব্যতার পাশাপাশি কেস ধরে সল্ভ করা বিষয়টা কি তা দেখতে পারবে।

প্রশ্নটা হলো,4টি ছক্কা চাললে অন্তত 3টি ছক্কায় একই সংখ্যা ওঠার সম্ভাব্যতা কত?

দেখো,আমরা এটা পূরক সম্ভাব্যতা দিয়ে সল্ভ করব।এজন্য প্রথমে আমাদের খুজে বের করতে হবে কতভাবে 3টি ছক্কা একই না হতে পারে,তা খুজে বের করা।

দেখো,এরকম 3টি কেস আসতে পারে।

১)4টি সংখ্যাই ভিন্ন হলে,

২)1টি সংখ্যা 2 বার বা,

৩)2টি সংখ্যা 2 বার।

১ম কেসঃ 1 থেকে 6 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে 4 টি  সংখ্যা নেওয়া যায় 6P4=360.

২য় কেসঃ প্রথমে লক্ষ্য কর,এক্ষেত্রে 3টি ভিন্ন সংখ্যা উঠবে(কেননা একটি সংখ্যা দু’বার উঠবে)।তাহলে ৬ তি থেকে ৩টি সংখ্যা বাছাই করা যায় কত ভাবে? 6P3 ভাবে।আবার যে সংখ্যাটি দু’বার থাকবে সেই সংখ্যাটি এই ৩টি সংখ্যা থেকে বাছাই করা যাবে  3P1 ভাবে।

এবার ভাল করে লক্ষ্য করে দেখ,এটা কি মূলত একটা aabc বা ২টি ভিন্ন সংখ্যা ও ২টি অভিন্ন সংখ্যার স্ট্রিং না?তাহলে এই স্ট্রিংকে সাজানোর মোট উপায় 4!/2!

তাহলে মোট arrangement হতে পারে (6P3)*(3P1)*(4!/2!)  = 720.

৩য় কেসঃ আগের মতই এক্ষেত্রে মোট arrangement হতে পারে (6P2)*(2P2)*(4!/2!2!)=30.

4টি ছক্কা চাললে মোট ভিন্ন ভিন্ন ফলাফল আসতে পারে 6^4=1296.

তাই,3টি ছক্কা একই না হওয়ার সম্ভাবনা (360+720+30)/1296=1110/1296

সুতরাং,পূরক সম্ভাব্যতা  1-(1110/1296)=31/216